Советский композитор, хоровой дирижер, генерал-майор. С 1891 — в СанктПетербурге, пел в хоре Казанского собора. Занимался музыкой в регентских классах Придворной певческой капеллы (Петербург).
В 1900 поступил в Петербургскую консерваторию (класс композиции А.К. Глазунова и А.К. Лядова), но по болезни прервал занятия. С 1909 учился в Московской консерватории по классу композиции С.Н. Василенко (окончил в 1913, дипломная работа — опера «Русалка» по А.С. Пушкину), а также по классу пения у А. Мазетти (1916).
В 1906–1909 и 1913–1916 жил в Твери, где работал хормейстером, регентом архиерейского хора, организовал и возглавил музыкальную школу. С 1918 преподаватель, с 1922 профессор Московской консерватории. Учениками А. Александрова были многие хоровые и военные дирижёры, музыкальные теоретики.
Дирижёр высокой музыкальной культуры, глубоко раскрывавший характер русской и советской песни, А. Александров обессмертил свое имя созданием Краснознамённого ансамбля песни и пляски Советской Армии (1928, ныне его имени). Ансамбль завоевал огромную популярность в СССР и за рубежом; он положил начало возникновению в нашей стране целой плеяды ансамблей песни и пляски. Лучшие достижения Александрова-композитора тесно связаны с работой в ансамбле, с его исполнительским стилем.
Одна из лучших песен композитора «Священная война» (сл. В.И. ЛебедеваКумача) создана в первые дни Великой отечественной войны 1941–45 и стала её музыкальной эмблемой.
В 1939 г. Александров написал «Гимн партии большевиков» (ст. В. ЛебедеваКумача). Когда был объявлен, конкурс на создание нового Гимна Советского Союза, он представил музыку «Гимна партии большевиков» с текстом С. Михалкова и Г. Эль-Регистана. В ночь под 1944 год все радиостанции страны впервые передали в исполнении Краснознаменного ансамбля новый Гимн Советского Союза.
До конца своих дней Александров работал с присущей ему огромной творческой энергией — он умер в Берлине, во время гастролей ансамбля. В одном из последних писем, как бы подводя итог своей жизни, Александр Васильевич писал: «...Сколько пережито и какой пройден путь от того времени, когда я был мальчиком в лаптях, до настоящего момента... Много было хорошего и плохого. А жизнь была сплошной борьбой, полная труда, забот... Но я не сетую ни на что. Я благодарю судьбу за то, что моя жизнь, мой труд принесли какие-то плоды дорогой Отчизне и народу. В этом большое счастье...»